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《圆周角的概念和圆周角定理》教学设计

[日期:2019-11-29] 来源:  作者:赵媛媛(曲芳葳整理) [字体: ]

24.1.4 圆周角(2课时)

                      1课时 圆周角的概念和圆周角定理

一、教材分析 
    《圆周角》这节课是人教版九年级上册第二十四章第一节第四部分的内容,是在学生学习了圆、弦、弧、圆心角等概念和相关知识的基础上出现的,圆周角与圆心角的关系在圆的有关证明、计算中应用比较广泛。通过对圆周角定理的探讨,培养学生严谨的思维品质,同时教会学生从特殊到一般的分类讨论的思维方法。因此本节课无论在知识上,还是方法上,都起着十分重要的作用。 所以这一节课既是前面所学知识的继续,又是后面研究圆与其它平面几何图形的桥梁和纽带.
     教材把《圆周角》这节分为两个课时进行教学,第一课时是探索圆周角与圆心角的关系,第二课时是探索直径所对圆周角的特殊性.这个是第一个课时的教学设计.

二、教学目标分析 
1、知识技能:⑴理解圆周角的概念,会识别圆周角.

 ⑵掌握圆周角的定理以及推论1,并会用此定理进行简单的论证和计算.

  1. 数学思考与问题解决

     ⑴经历动手、观察、类比、猜想、合作交流等数学活动,体会用运动变换的观点认识圆中的不变问题,提高学生的发散思维能力.

     ⑵初步体会运用分类讨论、转化、完全归纳法等数学思想方法解决问题,培养学生分析问题和解决问题的能力.

    3、情感态度

    体会几何定理学习的特点,培养科学的思维方法和良好的数学品质,引导学生欣赏几何图形的变化美和逻辑美,体会几何定理证明的发现和论证的乐趣,形成严谨求学的科学态度.

    重点:圆周角的概念和圆周角定理的发现与证明.

    难点:学生第一次接触分类证明,而证明又要添加适当的辅助线。因此圆周角定理的证明是本课的难点。

    三、教法与学法分析 
    ()学情分析:

    1.学生的认知基础

     学生已经了解圆中的基本概念,会判断圆心角,基本掌握圆心角的相关性质,熟练掌握了三角形外角和定理。 

    2.学生的年龄心理特点

      九年级学生已经具备一定的独立思考和探索能力,并能在探索过程中形成自己的观点,能在倾听别人意见的过程中逐渐完善自己的想法。因此,本节课设计了探究活动,给学生提供自主探索与交流的空间,体现知识的形成过程。

    ()教法分析:

    本节课的教学内容,推理论证的难度较大,本节又是本章的一个重点,根据学生在这个现有年龄阶段正处在感性认识逐步成熟为理性认识的初级阶段,具有好奇,好动的特点,给学生自己动手,画一画,量一量,参与整个教学过程、发现问题、讨论问题提供了很好的机会。沿着知识发生、发展的脉络,让学生从做中去观察、去探索、去归纳,改变原来的“听数学”为“做数学”,改以往“教师讲课,学生听课”那种“学”处于“教”的从属地位为“师生互动,共同参与”“教学相长”的合理地位。学生经过自己亲身的实践活动,形成自己的经验、猜想,产生对结论的感知,实现对知识意义的主动建构。

    ()学法分析:

    探究式学习和自主学习都是学生的重要学习方式,本课尝试做两者相结合的学习方式的指导,力图转变学生以往只是认真听讲、单纯记忆、练习巩固的被动学习方式,引导学生在自学的前提下动手实践、自主探索、合作交流活动中发现新知和发展能力,与此同时,教师通过适时的精讲、点拨,使观察、实验、猜想、验证、推理、归纳贯穿整个学习过程。

  1. 教学过程设计

  1. 创设情境 引入新课

    足球训练场上,教练在球门前画了一个圆圈,四名运动员一小组同时进行无人防守的点球比赛,所处位置分别在C,B,E,F处,他们争论不停,都说自己的射门位置好。若仅从射门角度考虑,你认为谁的位置好?如果你是教练,你将如何安排?我相信学完这节课之后大家都能回答这个问题。               

:(1)当角的顶点在圆心时,我们知道这样的角叫圆心角,如AOD.

(2)当角的顶点运动到圆周时,如ACD,ABD,这样的角叫什么角呢?

生会马上猜出:圆周角.教师给予鼓励,引出课题.

3.总结圆周角概念.

(1)给出圆周角的定义: 顶点在圆上,并且两边都与圆相交的角叫圆周角.

分析形成圆周角必须具备两个条件:①顶点在圆周上;②角的两边都与圆相交.

教师:请大家判断下列各图形中的角是不是圆周角,并说明理由.

 

 

3)找一找:例:如图,ABCD在同一个圆上,说出图中的圆周角有哪几个?分别说出它们所对的弧?

 

 

(二)合作交流,探究新知

探究同弧所对的圆周角与圆心角的关系 

1)引导学生通过动手实践先探究同弧所对的圆周角与圆心角的关系.

2)学生猜想结论后,老师要求学生在课前准备的圆上作出同弧所对的圆周角和圆心角,并探究它们之间的关系.计算ACBAOB的比值,发现:ACBAOB=12.

(3)利用几何画板,让学生感受这两个角的大小都在变,但比值不变.

(4)通过几何画板的演示,发现圆周角与圆心角的顶点O三种不同的位置关系,并找到证明方法. 

a)第一种情况,圆心在圆周角的一边上 

b)第二种情况,圆心在圆周角的内部

c)第三种情况,圆心在圆周角的外部

   

OB=OC  ∴∠B=C

    ∵∠AOBOBC的一个外角

∴∠AOB=B+C  ∴∠AOB=2ACB

5)后面两种情形的证明引导学生作一条直径将其转化为第一种特殊情形.

     通过这三种情形的证明,我们就能得出刚刚提出的猜想是正确的,这就是圆周角定理:同弧或等弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.再加上“同弧或等弧所对的圆心角相等”,也能得出圆周角定理的推论1:同弧或等弧所对的圆周角相等

(三)典例剖析,巩固新知

1:如图,ABCD在同一个圆上,四边形ABCD的对角线把四个内角分成八个角,这些角中哪些相等?为什么?

 

拓展1:点B是弧AC的中点,有哪些角相等?

拓展2:若1=2=60°,你能判断△BCD的形状吗?

   

 

 

 

 

 

随堂训练

 

(四)联系实际,活用新知

现在我们回到课前我们遇到的关于射门角度的问题,到底谁的射门位置更好呢?

 

引导学生将其转化为一个数学问题,并通过添加辅助线构造同弧所对的圆周角进行证明

 

 

(五)课堂练习,巩固新知

                                        

    1.如图,ABC是圆上的点,且C=70°,则AOB=        OAB=                   

    2.如图,ABCD是圆上的点,1=70°,∠A= 40°,则∠D=       

3.如图,BACBOC分别是O中的弧BC所对的圆周角和圆心角,若BAC60°,那么∠BOC________.              

4.如图,ABACO的两条弦,延长CAD,使ADAB,如果ADB30°,

那么BOC________.

  1. 如图,ABC的顶点ABC都在O上,C30 °,AB2,求O的半径

(六)小结拓展,回味新知

教师将引导学生从知识、方法、情感三方面来谈一谈这节课的收获。要求学生在组内交流后派代表发言。

 

 

七)、布置作业,巩固新知

1.教材89页第45题;

2.自能拓展作业:

 

八)板书设计

24.1.4圆周角

圆周角的定义:顶点在圆上,并且两边都与         习题演示:

圆相交的角叫圆周角

圆周角定理:同弧或等弧所对的圆周角

等于它所对的圆心角的一半

圆周角定理的推论:同弧或等弧所对的圆周角相等

 

 

 

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